Question

給出函數(shù)（x∈R）
（1）當t≤-1時，證明y=f（x）是單調遞減函數(shù)；
（2）當時，可以將f（x）化成的形式，運用基本不等式求f（x）的最小值及此時x的取值；
（3）設一元二次函數(shù)g（x）的圖象均在x軸上方，h（x）是一元一次函數(shù)，記，利用基本不等式研究函數(shù)F（x）的最值問題．

Answer 1

解：（1）設x₁＜x₂，則
化成
顯然，當x₁+x₂≤0時，f（x₁）-f（x₂）＞0
當x₁+x₂＞0時，，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以y=f（x）是單調遞減函數(shù)；
（2）由題意得，解得，
∴
當且僅當，即時，；
（3）由題意設g（x）=a（x-m）²+n，（a＞0，n＞0），h（x）=tx+b （t≠0），
所以．
若用x代換x-m，用代換t，則F（x）總能化成（r＞0）的形式．
由于及q均是常數(shù)，因而，只需研究（r＞0）的最值．
當|t|≥1時，F(xiàn)（x）是單調函數(shù)，無最值．
當|t|＜1時，

即，此時．
分析：（1）設x₁＜x₂，對應的函數(shù)值作差后化為，分x₁+x₂≤0和x₁+x₂＞0判斷查實的符號，從而得到結論；
（2）把代入，由題意得到關于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值，然后直接利用基本不等式求最值；
（3）設出兩個函數(shù)g（x）和h（x）的解析式，得到F（x）后用x代換x-m，用代換t，則F（x）總能化成（r＞0）的形式，分|t|大于等于1及小于1討論最值情況．
點評：本題考查了函數(shù)單調性的判斷與證明，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了學生靈活處理和解決問題的能力，考查了數(shù)學轉化思想方法，是有一定難度題目．