橢圓的長軸為AB，P為橢圓上任一點，引AQ⊥AP，BQ⊥BP，AQ與BQ的交點為Q，求點Q的軌跡．

答案：
解析：

　　解法一：設(shè)橢圓方程＝1，則

　　A(－a，0)、B(a，0)又設(shè)P(x，y)，則

　　kAP·kBP＝·＝

　�。�．

　　又∵AQ⊥AP，∴kAQ＝，

　　同理有kBQ＝．

　　∴kAQ·kBQ＝．

　　設(shè)Q點坐標(biāo)為(x，y)，∴·＝．

　　即a2x2＋b2y2＝a4，

　　∴＝1，∴所求軌跡為一橢圓．

　　解法二：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，

　　則點A、B的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)．又設(shè)P點坐標(biāo)為(acos，bsin)，

　　∵BQ⊥BP，AQ⊥AP，

　　∴BQ的直線方程為y＝(x－a)．

　　AQ的直線方程為y＝(x＋a)．

　　上面二式相乘有y2＝(x2－a2)，

　　即y2＝(x2－a2)，即＝1，∴所求軌跡仍為一個橢圓．


練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與

軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

 

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如圖．已知橢圓的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率，F(xiàn)1為橢圓的左焦點且=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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