Question

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若{a_n}的任一項a_n∈A∩B，首項a₁是A∩B中的最大數(shù)，且-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=(

2

2

)an+13n-9，令T_n=24（b₂+b₄+b₆+…+b_2n），試比較T_n與

48n

2n+1

的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 題意可得，A∩B=B，A∩B中的最大數(shù)為-3，即a₁=-3，a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45d-30
由-750＜S₁₀＜-300可得-16＜d＜-6，結(jié)合B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的等差數(shù)列可知d=-6m（m∈Z，m≠0），且-16＜-6m＜-6可求m，進(jìn)而可求d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求
（Ⅱ）由bn=(

2

2

)an+13n-9=(

2

2

)n，利用等比數(shù)列的求和公式可求可求T_n，然后猜想后利用 數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可或利用二項展開式進(jìn)行證明也可以

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)可得：集合A中所有的元素可以組成以-3為首項，-2為公差的遞減等差數(shù)列；集合B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的遞減等差數(shù)列．
由題意，有A∩B=B，A∩B中的最大數(shù)為-3，即a₁=-3…（2分）
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45d-30
因為-750＜S₁₀＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的遞減等差數(shù)列
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6⇒m=2，所以d=-12…（5分）
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=9-12n（n∈N^*） …（6分）
（Ⅱ）bn=(

2

2

)an+13n-9=(

2

2

)n
Tn=24(b2+b4+b6+…+b2n)=24×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=24(1-

1

2n

)…（8分）
Tn-

48n

2n+1

=24-

24

2n

-

48n

2n+1

=

24(2n-2n-1)

2n(2n+1)

于是確定T_n與

48n

2n+1

的大小關(guān)系等價于比較2ⁿ與2n+1的大小
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，…
可猜想當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1…（10分）
證明如下：
證法1：（1）當(dāng)n=3時，由上驗算可知成立．
（2）假設(shè)n=k時，2^k＞2k+1，
則2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立
根據(jù)（1）（2）可知，對一切n≥3的正整數(shù)，都有2ⁿ＞2n+1
∴當(dāng)n=1，2時，Tn＜

48n

2n+1

，當(dāng)n≥3時Tn＞

48n

2n+1

…（13分）
證法2：當(dāng)n≥3時2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1
∴當(dāng)n=1，2時，Tn＜

48n

2n+1

，當(dāng)n≥3時Tn＞

48n

2n+1

…（13分）

點評：本題以集合為載體，主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的簡單應(yīng)用