【題目】已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值.
【答案】見解析
【解析】解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x,
|a+b|=
==2,
因為x∈,所以cos x≥0,
所以|a+b|=2cos x.
(2)由(1),可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x,
即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因為x∈,所以0≤cos x≤1.
①當λ<0時,當且僅當cos x=0時,f(x)取得最小值-1,這與已知矛盾;
②當0≤λ≤1時,當且僅當cos x=λ時,f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=;
③當λ>1時,當且僅當cos x=1時,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,這與λ>1相矛盾;綜上所述λ=.
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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對任意的,都有.當時,.若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的公共點,則實數(shù)的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
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【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)心的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學習小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡 | |||||
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | |||||
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在,的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人,現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人,進行跟蹤調(diào)查.
(Ⅰ)求年齡在的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(Ⅱ)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】函數(shù)是定義在上的增函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.若實數(shù)滿足不等式,則的取值范圍是_______.
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【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止,點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止.設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)(其中曲線OG為拋物線的一部分,其余各部分均為線段),則下列結(jié)論:①;②當時, ;③;④當秒時, ∽;⑤當的面積為時,時間的值是或;其中正確的結(jié)論是( )
A. ①⑤ B. ②⑤ C. ②③ D. ②④
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【題目】某居民小區(qū)要建造一座八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的,是面積為200平方米的十字形地帶.計劃在正方MNPQ上建一座花壇,造價是每平方米4 200元,在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪上花崗巖地坪,造價是每平方米210元,再在四個空角上鋪上草坪,造價是每平方米80元.
(1)設(shè)總造價是S元,AD長為x米,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當x為何值時,S最?并求出最小值.
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【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):
R(x)=
其中x是儀器的月產(chǎn)量.
(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);
(2)當月產(chǎn)量為何值時,公司所獲得利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,E,F分別為AC和PB上的點,它的直觀圖,正視圖,側(cè)視圖如圖所示.
(1)求EF與平面ABCD所成角的大;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
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