Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D．且C，D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，根據(jù)三角形面積相等，求得a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），由a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得3k²＞m²-1，根據(jù)韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由k_AP•k_CD=-1，即可求得3k²=2m-1，代入，由弦長(zhǎng)公式可知：丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨，點(diǎn)A到CD的距離d=$\frac{丨1+m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，則S_△ACD=$\frac{1}{2}$•d•丨CD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3+\frac{2}{m}-{m}^{2}}$，且$\frac{1}{2}$＜m＜2，設(shè)f（x）=x+$\frac{2}{x}$-x²（$\frac{1}{2}$＜x＜2），求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞減，即可求得△ABC面積的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，
由題意可知：由△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），
a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=1，c²=1，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；-----------------（4分）
（2）由（1）可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m（k≠0，m≠0）}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
△=36km-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，解得：3k²＞m²-1，-------①------------------------（5分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．CD的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，-----②
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+3{k}^{2}}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₀=-$\frac{3m}{1+3{k}^{2}}$，y₀=$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$，
∴P（-$\frac{3m}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$）
依題意，可知AP⊥CD，
∴k_AP•k_CD=-1，代入坐標(biāo)，整理得：3k²=2m-1-------③--------（7分）
由①③以及2m-1＞0，可解得：$\frac{1}{2}$＜m＜2，
由②③，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知：丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+x）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{2m-{m}^{2}}}{m}$-------------（8分）
點(diǎn)A到CD的距離d=$\frac{丨1+m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•d•丨CD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3+\frac{2}{m}-{m}^{2}}$，且$\frac{1}{2}$＜m＜2，-----------------（9分）
令f（x）=x+$\frac{2}{x}$-x²（$\frac{1}{2}$＜x＜2），
求導(dǎo)得′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-2x＜0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞減，-----------------（11分）
∴S_△ACD∈（0，$\frac{9}{4}$）．
△ABC面積的取值范圍（0，$\frac{9}{4}$）．------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)及三角形面積公式和利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．