Question

已知函數(shù)f（x）＝x－xlnx ，，其中表示函數(shù)f（x）在
x＝a處的導(dǎo)數(shù)，a為正常數(shù)．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，且，證明：
 
（3）對(duì)任意的

Answer 1

見解析.

第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)的，，然后判定的單調(diào)性。
第二問(wèn)中，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，且，取，則，由（1）得，所以，
同理取，則，由（1）得，
所以，，綜合克的結(jié)論。
第三問(wèn)中，對(duì)k=1,2,3…n-2，令，則
，
顯然1<x<x+k，，所以，
利用放縮法證明。
解：（1），，
．      …………………2分
所以，時(shí)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． ………4分
（2）（法1）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，且，
取，則，由（1）得，
所以，……①；                    ………………………6分
取，則，由（1）得，
所以，……②．
綜合①②，得結(jié)論． ………………………8分
（3）對(duì)k=1,2,3…n-2，令，則
，
顯然1<x<x+k，，所以，
所以，在上單調(diào)遞減．
由，得，即．
．       ……………10分
所以
所以，．…………14分