【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1: 的離心率為 ,拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn)F是C1的一個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C1的方程;
(II)過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓C1于另一點(diǎn)D,交拋物線C2于A,B兩點(diǎn),線段DF的中點(diǎn)為M,直線OM交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn),記直線OM的斜率為k'.
(i)求證:kk'=﹣ ;
(ii)△PDF的面積為S1 , △QAB的面積為是S2 , 若S1S2=λk2 , 求實(shí)數(shù)λ的最大值及取得最大值時(shí)直線l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓C1: 的離心率為 ,
拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn)F是C1的一個(gè)頂點(diǎn).
∴ ,解得a=2,c= ,
∴橢圓C1的方程為 .
(Ⅱ)(i)證明:由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+1,(k≠0),設(shè)點(diǎn)D(x0 , y0),
由 ,得(4k2+1)x2+8kx=0,
解得 , ,∴D( , ),M( ),
,∴kk′=﹣ .
(ii)解:由(i)知D( , ),
又F(0,1),∴|DF|= = ,
由 ,得x2﹣4kx﹣4=0,
,
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則x1+x2=4k,
∴|AB|= ,
由 ,得(4k2+1)y2﹣1=0, ,
設(shè)P(x3 , y3),Q(﹣x3 , ﹣y3),
由題意得 , ,
∴P(﹣ ),Q( ,﹣ ),
∴點(diǎn)P到直線kx﹣y+1=0的距離為:
d1= = ,
點(diǎn)Q到直線kx﹣y+1=0的距離為:
d2= = ,
∴S1= |DF|d1= = ,
S2= = = ,
∴ = = ≤ = ,
當(dāng)且僅當(dāng)3k2=k2+1,即k= 時(shí),取等號(hào),
∴λ的最大值為 ,此時(shí)直線l的方程為y= .
【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率為 ,拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn)F是C1的一個(gè)頂點(diǎn),列出方程組,求出a=2,b=1,由此能求出橢圓C1的方程.(Ⅱ)(i)由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+1,(k≠0),由 ,得(4k2+1)x2+8kx=0,由此求出D( , ),M( ),由此能證明kk′=﹣ .
(ii)由D( , ),F(xiàn)(0,1),得|DF|= ,由 ,得x2﹣4kx﹣4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式求出|AB|=4(k2+1),由 ,得(4k2+1)y2﹣1=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式,求出點(diǎn)P到直線kx﹣y+1=0的距離,點(diǎn)Q到直線kx﹣y+1=0的距離,由此能λ的最大值為 ,此時(shí)直線l的方程為y= .
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【題目】已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), 的距離之比等于5.
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(2)記(1)中的軌跡為,過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為 8,求直線的方程.
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(2)當(dāng)上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于時(shí),求上到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).
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(1)①當(dāng)時(shí),寫出直線的普通方程;
②寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn),設(shè)曲線與直線交于點(diǎn),求最小值.
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A.(﹣∞, )
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(1)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若¬p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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(3)若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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