Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2a2

x

-alnx（a∈R）．
（1）當a≥0時，討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=x²-2bx+4-ln2，當a=1時，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．
（3）求證：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

n

n+1

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）分類討論，求導函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）x∈[1，e]，可得f（x）_min=3-ln2，對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂），可得x∈[1，e]時，3-ln2≥x²-2bx+4-ln2，分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調性，即可求出實數(shù)b的取值范圍．
（3）當a=

1

2

時，x+

1

2x

-

1

2

lnx＞

3

2

，取x=

k+1

k

，則ln

k+1

k

＜

2

k

-

1

k+1

，再利用疊加法即可證明結論．

解答： （1）解：當a=0時，f（x）=x（x＞0），f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＞0時，f′（x）=1-

2a2

x2

-

a

x

=

(x+a)(x-2a)

x2

，
∴f（x）在（0，2a）上單調遞減，在（2a，+∞）上單調遞增；
（2）解：當a=1時，f（x）=x+

2

x

-lnx，
∵x∈[1，e]，∴f（x）_min=3-ln2．
∵對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂），
∴x∈[1，e]時，3-ln2≥x²-2bx+4-ln2，
∴x∈[1，e]時，2b≥x+

1

x

∵y=x+

1

x

在[1，e]上單調遞增，
∴b≥

e

2

+

1

2e

；
（3）證明：當a=

1

2

時，x+

1

2x

-

1

2

lnx＞

3

2

，
取x=

k+1

k

，則ln

k+1

k

＜

2

k

-

1

k+1

，
∴l(xiāng)n

2

1

＜

2

1

-

1

2

，ln

3

2

＜

2

2

-

1

3

，…ln

n+1

n

＜

2

n

-

1

n+1

，
疊加得ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

n

n+1

．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合應用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，屬于中檔題．