Question

3．已知命題p：對任意x∈（0，+∞），log₄x＜log₈x，命題q：存在x∈R，使得tanx=1-3^x，則下列命題為真命題的是（　�。�

• A． p∧q
• B． （￢p）∧（￢q）
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧q

Answer 1

分析 根據對數的運算性質，可得當x＞1時，log₄x＜log₈x不成立，即p為假命題．當x=0時，tanx=1-3^x=0，即q是真命題，再由復合命題真假判斷的真值表，可得答案．

解答 解：∵${log_4}x=\frac{lgx}{lg4}\;\;，\;\;{log_8}x=\frac{lgx}{log8}\;\;，\;\;\frac{1}{lg4}＞\frac{1}{lg8}$，
∴當x＞1時，$\frac{lgx}{lg4}＞\frac{lgx}{lg8}$，即log₄x＞log₈x，
即p為假命題．
當x=0時，tanx=1-3^x=0，
即q是真命題，
從而（?p）∨q為真命題．
p∧q，（￢p）∧（￢q），p∧（￢q）均為假命題，
故選：D．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了對數的運算性質，方程根的個數，復合命題，難度中檔．