(2011•徐州模擬)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=4,CD=3,E為AB中點(diǎn),過E作EF⊥CD,垂足為F,(如圖一),將此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如圖二).
(1)求證:BF∥平面ACD;
(2)求多面體ADFCBE的體積.
分析:(1)先證明BCFE為正方形,AE和DF都垂直于平面BCFE,設(shè)O是正方形BCFE的中心,取AC得中點(diǎn)為H,證明四邊形OHDF為矩形,OF平行于DH,再由直線和平面平行的判定定理可得OF∥平面ACD,即BF∥平面ACD.
(2)把多面體ADFCBE分成兩個(gè)棱錐:三棱錐A-BCE 和四棱錐C-AEFD,分別求出 VA-BCE和 VC-AEFD 的值,相加即得所求.
解答:解:(1)證明:∵直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=4,CD=3,E為AB中點(diǎn),EF⊥CD,垂足為F,∴BCFE為正方形.
設(shè)BF和CE的交點(diǎn)為O,則O是正方形BCFE的中心.
再由平面ADFE垂直于平面FEBC,可得AE和DF都垂直于平面BCFE.
取AC得中點(diǎn)為H,則由三角形的中位線性質(zhì)可得OH平行且等于AE的一半,故OH平行且等于DF,故四邊形OHDF為矩形,故OF平行于DH.
再由DH?平面ACD,OF不在平面ACD內(nèi),故OF∥平面ACD,即BF∥平面ACD.
(2)把多面體ADFCBE分成兩個(gè)棱錐:三棱錐A-BCE 和四棱錐C-AEFD,
由題意可得CF⊥平面AEFD,AE⊥平面BCFE.
∴VA-BCE=
1
3
S△BCE•AE=
1
3
×
1
2
×BC•BE•AE=
23
6
=
4
3

VC-AEFD=
1
3
×SAEFD•CF=
1
3
×
1
2
(AE+DF)•EF•CF=
1
6
×(2+1)×2×2=2,
故多面體ADFCBE的體積為 VA-BCE+VC-AEFD=
4
3
+2=
10
3
點(diǎn)評:本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用,用“分割法”求棱錐的體積,屬于中檔題.
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3
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