Question

4．若偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)．

Answer 1

分析 運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性，確定函數(shù)y=f（x）的周期，構(gòu)造函數(shù)y=f（x），h（x）=|lgx|，則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），
即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，即有f（x+2）=f（-x）=f（x），
則函數(shù)y=f（x）的周期為2，
構(gòu)造函數(shù)y=f（x），h（x）=|lgx|，畫出它們的圖象，
則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由于f（x）的最大值為1，
所以x＞10時(shí)，圖象沒(méi)有交點(diǎn)，在（0，1）上有一個(gè)交點(diǎn)，
（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有兩個(gè)交點(diǎn)，在（9，10）上有一個(gè)交點(diǎn)，故共有10個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，主要考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，注意掌握周期函數(shù)的一些常見(jiàn)結(jié)論：若f（x+a）=f（x），則周期為a；若f（x+a）=-f（x），則周期為2a等．