如圖，三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°。

（I）求棱PB的長(zhǎng)；

（II）求二面角P—AB—C的大小。

 

【答案】

（I）（II）

【解析】

試題分析：（I）如圖1，作PO⊥AC，垂足為O，連結(jié)OB，

由已知得，△POC≌△BOC，則BO⊥AC。

，

 

∵平面PAC⊥平面BAC，∴PO⊥平面BAC，∴PO⊥OB，

 

（II）方法1：如圖1，作OD⊥AB，垂足為D，連結(jié)PD，由三垂線定理得，PD⊥AB。

則∠PDO為二面角P—AB—C的平面角的補(bǔ)角。

二面角P—AB—C的大小為 

方法2：如圖2，分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O—xyz，則

令 

又為面ABC的法向量。  

易知二面角P—AB—C的平面角為鈍角，

故二面角P—AB—C的大小為 

考點(diǎn)：線面垂直關(guān)系的判定形式及二面角的求法

點(diǎn)評(píng)：第二問求二面角分別用了幾何法（作出二面角平面角，計(jì)算大小）和向量法（建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到兩面的法向量，通過(guò)法向量的夾角找到二面角）

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點(diǎn)，設(shè)
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時(shí)能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•德陽(yáng)二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案