Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上總是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)滿足f（1-x）=f（1+x），關(guān)于x=1對(duì)稱，再求出函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，的對(duì)稱軸令其相等即可求出a值；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上總是單調(diào)函數(shù)，討論a=0，或a≠0的情況，討論二次函數(shù)的圖象及其對(duì)稱軸，從而進(jìn)行求解；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上有零點(diǎn)，討論a=0和a≠0的情況，a≠0時(shí)，討論有幾個(gè)零點(diǎn)可以有一個(gè)也可以有兩個(gè)，利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域的問題；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R，
∵函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），∴f（x）關(guān)于直線x=

1-x+1+x

2

=1對(duì)稱，
因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x=-

-2

2a

，
∴-

-2

2a

=1，解得a=1；
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上總是單調(diào)函數(shù)，
若a=0，可得f（x）=-2x-1，是單調(diào)減函數(shù)，滿足題意；
若a≠0可得，f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
對(duì)稱軸為：x=-

-2

2a

=

1

a

，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上總是單調(diào)函數(shù)，可得

1 a ≤ 1 2 1 a ≥2

解得a≥2或a＜0或0＜a≤

1

2

，
綜上可得：a≤

1

2

或a≥2；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，令f（x）=0解得x=-

1

2

不在區(qū)間[

1

2

，2]上，不滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1在區(qū)間[

1

2

，2]上有零點(diǎn)?a（x²+1）=1+2x在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，
?a=

1+2x

1+x2

在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=

1+2x

1+x2

在區(qū)間[

1

2

，2]上的值域，
設(shè)t=1+2x∈[2，5]，g（t）=遞減，t∈（

5

，5），g（t）遞增，
事實(shí)上，設(shè)0＜t₁＜t₂＜

5

，則g（t₁）-g（t₂）=（t₁+

5

t1

）-（t₂+

5

t2

）=

(t1-t2)(t1t2-5)

t1t2

，
由0＜t₁＜t₂＜

5

，得t₁-t₂＜0，0＜t₁t₂＜5，即g（t₁）-g（t₂）＞0
所以g（t）在（2，

5

）上單調(diào)遞減，同理得g（t）在（

5

，5）上單調(diào)遞增，又g（5）=6＞g（2）=4.5，
故g（

5

）≤g（t）≤g（5），
∴2

5

≤g（t）≤6，，0＜2

5

-2≤g（t）-2≤4，
∴1≤

4

g(t)-2

≤

4

2 5 -2

，1≤

4

g(t)-2

≤

5 +1

2

，
∴y∈[1，

5 +1

2

]
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，

5 +1

2

]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)問題，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，這是高考常考的熱點(diǎn)問題，此題是一道中檔題；