Question

（本小題14分） 已知函數(shù)，若
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)

Answer 1

（1）；（2）（1，] ；（3）證明詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求切線的斜率，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）先求 ，然后確定函數(shù)
g(x)的單調(diào)區(qū)間，找到滿足函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)d的條件，解之即可；（3）欲證原不等式可轉(zhuǎn)化為證，在構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)h(x)的單調(diào)性可證的<0，即可得證.
試題解析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022443672746.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）=，(x>0)
=，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+）,單調(diào)遞減區(qū)間（0, 1）
x=1時(shí)，取得極小值.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間 上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以 ，解得，
所以b的取值范圍是（1，
（3）當(dāng)
即證：
即證：
構(gòu)造函數(shù)：
當(dāng)時(shí)，
所以，
又，所以
即
所以