Question

函數y=(

1

2

)3+2x-x2的定義域為

R

，值域為

[

1

16

，+∞ ）

．

Answer 1

分析：函數的定義域是使函數成立的x的取值范圍，而此題中，x取任意實數，函數都成立，所以定義域是R．
函數的值域是y的取值范圍，把指數看做一個整體，用u表示，則u是x的二次函數，y是u的指數函數，利用二次函數值域的求法，以及指數函數的單調性，就可得到復合函數y=(

1

2

)3+2x-x2的值域．

解答：解：∵不論函數y=(

1

2

)3+2x-x2中的x取何值，函數總有意義，∴函數y=(

1

2

)3+2x-x2的定義域為R．
令u=3+2x-x²，則y=(

1

2

)u．
∵u=3+2x-x²=-（x-1）²+4，∴u∈（-∞，4]
∵函數y=(

1

2

)u為u的減函數，且u∈（-∞，4]
∴(

1

2

)u∈[

1

16

，+∞），即y∈[

1

16

，+∞），
∴函數的值域為[

1

16

，+∞），
故答案為[

1

16

，+∞）

點評：本題主要考查了二次函數與指數函數的復合函數定義域和值域的求法，關鍵是尋找構成復合函數的兩個函數．