Question

已知直線x+2y-3=0交圓x²+y²-6y+F=0于點P、Q，O為坐標原點，且OP⊥OQ，則F的值為

 

．

Answer 1

分析：由題意OP⊥OQ，則圓心到直線的距離的

2

倍等于半徑，即可求得F的值．

解答：解：圓心坐標（0，3），半徑是

9-F

，圓心到直線的距離：

3

5

=

3 5

5

由題意直線x+2y-3=0交圓x²+y²-6y+F=0于點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、，O為坐標原點，且OP⊥OQ，
可得x₁x₂+y₁y₂=0   ①
由x+2y-3=0得x=3-2y，代入x²+y²-6y+F=0，得5y²-18y+9+F=0
故有y1y2=

9+F

5

，y1+y2=

18

5

又x₁x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9+4y₁y₂-6（y₁+y₂）=

4F

5

-

27

5

故①可變?yōu)?span id="ks4asg4" class="MathJye">

9+F

5

+

4F

5

-

27

5

=0
解得F=

18

5

故答案為：

18

5

點評：本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，本題方法較多，本解答較簡潔是基礎(chǔ)題．