Question

如圖所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時出發(fā)，沿射線DA、BA的方向運(yùn)動，當(dāng)?shù)诙�次MF=MN時M、N兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，設(shè)動點(diǎn)M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運(yùn)動的時間為t秒．試解答下列問題：
（1）求F、M、N三點(diǎn)共線時t的值；
（2）設(shè)△FMN的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．并求出t為何值時S的值最大．
（3）試問t為何值時，△FMN為直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標(biāo)系，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程可得t的取值范圍
（1）若F、M、N三點(diǎn)共線，則∥，結(jié)合向量共線的充要條件，可求出滿足條件的t值．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分t＜2+2時，t=2+2時，2+2＜t≤6時和6＜t≤10+2時四種情況分別求出△FMN面積的最值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
（3）利用勾股定理和兩點(diǎn)之間的距離公式，分別討論可得△FMN為直角三角形時的t值．
解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），F(xiàn)（2，4），M（0，4-t），N（6-t，0）
若MF=MN，則4+t²=（4-t）²+（6-t）²
即t²-20t+48=0
解得t=10±2
故t∈[0，10+2]
（1）若F、M、N三點(diǎn)共線，則∥
即（-2，-t）∥（4-t，-4）
即t²-4t-8=0
解得t=2+2
（2）①當(dāng)t＜2+2時，如下圖所示：

S_△FMN=S_ABCD-S_△AMN-S_△DMF-S_NBFC
=4×6-×（4-t）（6-t）-×2×t-×（4+t）×4
=-t²+2t+4，
此時t=2時，S_△FMN取最大值6
②當(dāng)t=2+2時，如下圖所示：

F、M、N三點(diǎn)共線，S_△FMN=0
③當(dāng)2+2＜t≤6時，如下圖所示：

S_△FMN=×NE×DM=×[-（6-t）]×t=t²-2t-4，
此時t=6時，S_△FMN取最大值2
④當(dāng)6＜t≤10+2時，如下圖所示：

S_△FMN=×NE×DM=×[（t-6）+]×t=t²-2t-4，
此時t=10+2時，S_△FMN取最大值52+16
綜上所述t=10+2時，S_△FMN取最大值52+16
（3）若△FMN為直角三角形，
①若FM為斜邊，則FM²=FN²+MN²，
即4+t²=（4-t）²+（6-t）²+（4-t）²+16
即t²-14t+40=0
解得t=4，或t=10
②若FN為斜邊，則FN²=FM²+MN²，
即（4-t）²+（6-t）²=4+t²+（4-t）²+16
即12t=16
解得t=
③若MN為斜邊，則MN²=FN²+FM²，
即4+t²+（4-t）²+（6-t）²=（4-t）²+16
即t²-8t+12=0
解得t=2，或t=6
綜上所述△FMN為直角三角形，t=4，或t=10，或t=，或t=2，或t=6
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最值，勾股定理，兩點(diǎn)間距離公式，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，計算量較大．