Question

已知空間向量，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出以下結(jié)論：①以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)，取得最小值；②當(dāng)k=2時(shí)，到A和點(diǎn)B等距離的動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程為4x-2y-5=0，其軌跡是一條直線；③若，則三棱錐O-ABP體積的最大值為；④若=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個(gè)面都為直角三角形的概率為．其中，所有正確結(jié)論的應(yīng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①，利用向量加法的平行四邊形法則得出的坐標(biāo)，從而求出²=16+（k+1）²，當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)，取得最小值；故①錯(cuò)；對于②，當(dāng)k=2時(shí)，到A和點(diǎn)B等距離的動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個(gè)平面；故②錯(cuò)；③若，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，只須S_△OAB最大即可，下面求出其最大值即可．④若=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個(gè)面都為直角三角形，只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，再探討在什么情況下其是直角結(jié)合概率公式計(jì)算即得．
解答：解：=+=（1，k，0）+（3，1，0）=（4，k+1，0），
∴²=16+（k+1）²，當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)，取得最小值；故①錯(cuò)；
對于②，當(dāng)k=2時(shí)，到A和點(diǎn)B等距離的動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個(gè)平面；故②錯(cuò)；
③若，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，
由于三棱錐O-ABP體積=×||×S_△OAB=S_△OAB，
故只須S_△OAB最大即可，
在xOy平面內(nèi)考慮，此時(shí)A（1，2），cos∠AOB===，∴∠AOB=45°．
S_△OAB最大=×||×||sin∠AOB=××sin45°=．故錯(cuò)；
④若=（0，0，1），則要使得三棱錐O-ABP各個(gè)面都為直角三角形，
只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，
如圖，由于點(diǎn)A只能在M，N，S，P，Q五點(diǎn)取得，有5種取法，
而使得∠OAB為直角的點(diǎn)是M，Q，有2種取法，
則三棱錐O-ABP各個(gè)面都為直角三角形的概為．正確．
其中，所有正確結(jié)論的應(yīng)是④．
故答案為：④．
點(diǎn)評：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、三棱錐的幾何特征、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．