Question

13．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：sinθ=ρcos²θ，過點M（-1，2）的直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C相交于A、B兩點．求：
（1）線段AB的長度；
（2）點M（-1，2）到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）由極坐標和直角坐標的關系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的直角坐標方程，代入直線的參數方程，運用韋達定理，可得|AB|=|t₁-t₂|，化簡整理即可得到所求值；
（2）由參數的幾何意義，可得所求之積為|t₁t₂|．

解答 解：（1）由sinθ=ρcos²θ，可得ρsinθ=ρ²cos²θ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y=x²，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），可得t²+$\sqrt{2}$t-2=0，
即有t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=-2．
由參數t的幾何意義可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{2-4×（-2）}$=$\sqrt{10}$；
（2）由（1）可得點M（-1，2）到A、B兩點的距離之積
為|t₁t₂|=|-2|=2．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，注意運用極坐標和直角坐標的關系，考查直線的參數方程的運用，注意結合韋達定理，運用參數的幾何意義是解決本題的關鍵，屬于基礎題．