Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0)，求數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

分析：由S_n求a_n的過程可得必要條件是：a≠0，c=0．只需再證明充分性即可，注意n的范圍的限制．

解答：解：當n=1時，a₁=a+b+c；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a
由于a≠0，∴當n≥2時，{a_n}是公差為2a等差數(shù)列．
要使{a_n}是等差數(shù)列，則a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差數(shù)列的必要條件是：a≠0，c=0．
充分性：
當a≠0，c=0時，Sn=an2+bn．
當n=1時，a₁=a+b；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
顯然當n=1時也滿足上式，
∴an=2an+b-a(n∈N*)⇒an-an-1=2a(n∈N*)
∴{a_n}是等差數(shù)列．
綜上可知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是：a≠0，c=0．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的特點，涉及充要條件的證明，屬基礎題．