Question

13．若方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2）
• B． （1，2]
• C． [-1，0]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，看成是函數(shù)y₁=$\sqrt{3}$sinx-cosx與函數(shù)y=a在x∈[0，π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用函數(shù)y₁的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：由題意，方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，看成是函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx-cosx與函數(shù)y₁=a在x∈[0，π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴y=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[0，π]上，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
令x-$\frac{π}{6}$=u，則y=2sinu的圖象如下：
從圖象可以看出：直線y₁=a與y=2sinu有兩個(gè)交點(diǎn)，
則：1≤a＜2．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)方程有解問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想．屬于中檔題．