Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

4

，2a_n+1=a_n²+2a_n，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，S_n表示數(shù)列{

1

an+2

}的前n項(xiàng)和．現(xiàn)給出下列命題：
①數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
②數(shù)列{a_n+1-a_n}單調(diào)遞減；
③

1

an+1

=

1

an

-

1

an+2

；
④[S₂₀₁₃]=3．
以上命題中正確的是

 

（填寫你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由數(shù)列遞推式得到an+1-an=

an2

2

，說(shuō)明命題①正確；由

an+2-an+1

an+1-an

=(

an+1

an

)2=(1+

an

2

)2＞1說(shuō)明命題②正確；把an+1=

an2+2an

2

取倒數(shù)后得到命題③正確；由遞推公式2a_n+1=a_n²+2a_n，移項(xiàng)得2a_n+1-a_n²-2a_n=0，在兩邊加上a_na_n+1，并將左邊提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1，可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
求出前2013項(xiàng)得和后結(jié)合已知說(shuō)明命題④正確．

解答： 解：由2a_n+1=a_n²+2a_n，得
an+1=

an2+2an

2

，
∴a_n+1-a_n=

an2+2an

2

-an=

an2

2

＞0．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
命題①正確；
由an+1-an=

an2

2

，得an+2-an+1=

an+12

2

．
∴

an+2-an+1

an+1-an

=(

an+1

an

)2=(1+

an

2

)2＞1．
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}單調(diào)遞增．
命題②錯(cuò)誤；
∵an+1=

an2+2an

2

，
∴

1

an+1

=

2

an(an+2)

=

1

an

-

1

an+2

．
命題③正確；
∵a₁=

1

4

，2a_n+1=a_n²+2a_n，
∴數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，并且

1

an+2

＞0．
由遞推公式2a_n+1=a_n²+2a_n，移項(xiàng)得2a_n+1-a_n²-2a_n=0，
在兩邊加上a_na_n+1，并將左邊提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1，
可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

an+2

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

＜

1

a1

=4．
又∵a1=

1

4

，a2=

9

32

，a3=

657

2048

，…，
∴3＜

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

＜4．
∴[S₂₀₁₃]=3，
命題④正確．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是有一定難度題目．