Question

在數(shù)列a_n中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

1

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列b_n為等差數(shù)列；
（2）設(shè)cn=2bn，試問數(shù)列c_n中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，說明理由．
（3）已知當(dāng)n∈N^*且n≥6時(shí)，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，求滿足等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn的所有n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，b_n+1-b_n為一個(gè)常數(shù)即可；
（2）設(shè)cn=2bn，試問數(shù)列c_n中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行驗(yàn)證；
（3）已知當(dāng)n∈N^*且n≥6時(shí)，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn進(jìn)行化簡可化為3ⁿ+4ⁿ++（n+2）ⁿ=（n+3）n，然后進(jìn)行放縮求解；

解答：解：（1）∵bn+1-bn=

1

2an+1-1

-

1

2an-1

=

1

2- 1 2an -1

-

1

2an-1

=1
∴數(shù)列b_n為等差數(shù)列4；
（2）解：假設(shè)數(shù)列c_n中存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列；不妨設(shè)為第p，r，q（p＜r＜q）項(xiàng)，
由（1）得b_n=n，
∴c_n=2ⁿ，
∴2•2^r=2^p+2^q，
∴2^r+1-p=1+2^q-p
又2^r+1-p為偶數(shù)，1+2^q-p為奇數(shù)．
故不存在這樣的三項(xiàng)，滿足條件．
（3）由（2）得等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn
可化為3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ
即(

3

n+3

)n+(

4

n+3

)n++(

n+2

n+3

)n=1
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n=1
∵當(dāng)n≥6時(shí)，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，
∴(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，(1-

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，(1-

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n＜1
∴當(dāng)n≥6時(shí)，3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ
當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，
經(jīng)驗(yàn)算n=2，3時(shí)等號成立
∴滿足等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn的所有n=2，3；

點(diǎn)評：此題考等差數(shù)列的性質(zhì)，前兩問比較簡單，第三問難度比較大，放縮時(shí)技巧性比較強(qiáng)，不等式與數(shù)列的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，也是壓軸題；