Question

在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩垂直，T在底面ABC內的正投影為D，
下列命題：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是銳角三角形；
④

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；
其中正確的是

①③④

（寫出所有正確的命題的序號）

Answer 1

分析：對于①，TA，TB，TC兩兩垂直可得：直線TA與平面TBC垂直，從而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
對于問題②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心．
對于問題③可以通過余弦定理解決．
對于④，在直角三角形ATE中，利用平面幾何中面積相等公式及射影定理即可證得；

解答：
解：①選項正確理由如下：
∵T在底面ABC內的正投影為D
∴TD⊥面ABC
∴TD⊥BC
∵在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩垂直且TB∩TC=T
∴TA⊥面TBC
∴TA⊥BC
∵TD∩TC=T
∴BC⊥面TAD
∴AD⊥BC
同理可得BD⊥AC，CD⊥AB
∴D是△ABC的垂心故①選項正確
對于問題②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心
對于③設TA=a；TB=b；TC=c，則AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，AC²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

a2

2AB•AC

＞0，同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以△ABC是銳角三角形．故③對．
對于④設TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=

bc

a2+b2

，
在三角形ABC中，有：AE=

a2b2+b2c2+c2a2

c2+b2

由于AE×TD=TA×TE
∴

a2b2+b2c2+c2a2

c2+b2

×TD=a×

bc

a2+b2

∴a²b²c²=（a²b²+b²c²+d²c²）•TD²
∴

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+ 

1

TC2

成立
故④對
故答案為①③④

點評：本題考查棱錐的結構特征以及解三角形的有關理論，在立體幾何中考查平面幾何問題，要注意在空間的某個平面內，平面幾何的有關定理、公式等結論仍然成立．本題還考查類比推理，屬于中檔題．