Question

18．設函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-2|，g（x）=x+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對值化簡函數(shù)的解析式，通過當x＜-2時，當-2≤x≤2時，當x＞2時，轉化不等式求解即可．（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）_min，利用?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，求解t的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x＜-2}\\ \begin{array}{l}2x，-2≤x≤2\\ 4，x＞2\end{array}\end{array}}\right.$，
當x＜-2時，由可得$x≤-\frac{9}{2}$，所以$x≤-\frac{9}{2}$；
當-2≤x≤2時，由可得$x≥\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}≤x≤2$；
當x＞2時，由可得$x≤\frac{7}{2}$，所以$2＜x≤\frac{7}{2}$；
綜上可得，不等式的解集為$（{-∞，-\frac{9}{2}}]∪[{\frac{1}{2}，\frac{7}{2}}]$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x＜-2}\\ \begin{array}{l}2x，-2≤x≤2\\ 4，x＞2\end{array}\end{array}}\right.$，
所以f（x）_min=-4，若?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，解得1≤t≤4，
綜上，t的取值范圍為[1，4]．…（10分）

點評 本題考查不等式的解法函數(shù)恒成立條件的應用，考查轉化思想以及計算能力．