Question

如圖，M是單位圓與x軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠MOP=x(0＜x＜π)，

OQ

=

OM

+

OP

，四邊形OMQP的面積為S，函數(shù)f(x)=

OM

•

OQ

+

3

S．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若f(A)=3，b=1，S△ABC=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，|

OQ

|=

(1+cosx)2+sin2x

，化簡得|

OQ

|=2|cos

1

2

x|，從而得到

OM

•

OQ

=2cos²

1

2

x=1+cosx；四邊形OMQP的面積S=|

OM

|•|

OP

|sin∠POM=sinx．代入題中的表達式并化簡整理，得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=3，解出A=

π

3

，再由面積正弦定理算出邊c=4，最后利用余弦定理即可計算出邊a的值．

解答：解：（1）由題意，得M（1，0），P（cosx，sinx），
∴

OQ

=

OM

+

OP

=（1+cosx，sinx）
得四邊形OMQP的面積S=|

OM

|•|

OP

|sin∠POM=sinx

OM

•

OQ

=|

OM

|•|

OQ

|cos∠QOM=1×

(1+cosx)2+sin2x

×cos

1

2

x
而

(1+cosx)2+sin2x

=

2+2cosx

=

2+2(2cos2 x 2 -1)

=2|cos

1

2

x|
∵0＜

1

2

x＜

π

2

，得cos

1

2

x是正數(shù)，∴

OM

•

OQ

=2cos²

1

2

x=1+cosx
因此，f(x)=

OM

•

OQ

+

3

S=1+cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

）+1
即函數(shù)f（x）的表達式為y=2sin（x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ（k∈Z）
∴f（x）的增區(qū)間為[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]（k∈Z）
（2）f（A）=2sin（A+

π

6

）+1=3，得sin（A+

π

6

）=1
結合A∈（0，π），得A=

π

3

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，即

1

2

×1×c×sin

π

3

=

3

，可得c=4
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=1²+4²-2×1×4×cos

π

3

=13
∴a=

13

點評：本題給出單位圓中的向量，求四邊形面積和向量的數(shù)量積，并求與之相關的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．著重考查了平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換和利用正余弦定理解三角形等知識點，屬于中檔題．