Question

要制作一個(gè)容積為96πm³的圓柱形水池，已知池底的造價(jià)為30元/m²，池子側(cè)面造價(jià)為20元/m²．如果不計(jì)其他費(fèi)用，問(wèn)如何設(shè)計(jì)，才能使建造水池的成本最低？最低成本是多少？

Answer 1

分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，設(shè)池底半徑為r，池高為h，成本為y，建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出所求．

解答：解：設(shè)池底半徑為r，池高為h，成本為y，則：
96π=πr²h⇒h=

96

r2

　…（2分）
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（r2+

128

r

） …（4分）
y'=30π（2r-

128

r2

）　　　　　　　　　…（5分）
令y'=30π（2r-

128

r2

）=0，得r=4，h=6 …（6分）
又r＜4時(shí)，y'＜0，y=30π（r2+

128

r

）是減函數(shù)；　…（7分）
r＞4時(shí)，y'＞0，y=30π（r2+

128

r

）是增函數(shù)；　…（8分）
所以r=4時(shí)，y=30π（r2+

128

r

）的值最小，最小值為1440π…（9分）
答：當(dāng)池底半徑為4米，桶高為6米時(shí)，成本最低，最低成本為1440π元．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立數(shù)學(xué)模型的能力及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．