【題目】如圖在棱錐中， 為矩形， 面， ， 與面成角， 與面成角.

（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）法一：要證明PC⊥面ADE，只需證明AD⊥PC，通過(guò)證明即可，然后推出存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)．

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ，設(shè)，通過(guò)得到，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)．

（2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－XYZ，

由題意知PD＝CD＝1，

，設(shè)， ，

,

由，得，

即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，

， ， ，

設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為

由的法向量為得， 得

同理求得 所以

故所求二面角P－AE－D的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上的最小值為，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有甲乙兩家公司都愿意聘用某求職者，這兩家公式的具體聘用信息如下：

（1）根據(jù)以上信息，如果你是該求職者，你會(huì)選擇哪一家公司？說(shuō)明理由；

（2）某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場(chǎng)人士，就選擇這兩家公司的意愿作了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)分布：

若分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類變量，計(jì)算得到的的觀測(cè)值為，測(cè)得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少？并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大？

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點(diǎn)， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在底面為正方形的四棱柱中， .

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）對(duì)任意的， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知在四棱錐中，平面平面，且， ， ， ， ， 為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且對(duì)任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請(qǐng)將(2)中結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；

（Ⅱ）當(dāng)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求的值及函數(shù)的最小正周期.

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