Question

如圖，已知直線(xiàn)x+ky-1=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線(xiàn)l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線(xiàn)AF與BN交于點(diǎn)M．
i．求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
ii．求△AMN面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）利用已知條件直接推出，a、c、b的關(guān)系，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線(xiàn)l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線(xiàn)AF與BN交于點(diǎn)M．
i．設(shè)A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），則B（x₀，-y₀），且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．當(dāng)x₀=1時(shí)，當(dāng)x₀≠1時(shí)，分別利用直線(xiàn)AF，與直線(xiàn)BN，求出交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是否滿(mǎn)足橢圓分即可，證明點(diǎn)M恒在橢圓C上；
ii．聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，表示出△AMN面積，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積最大值．

解答： （Ⅰ）解：由題F（1，0），c=1，a+c=3，∴a=2
則橢圓C為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）�。�證明：設(shè)A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），則B（x₀，-y₀），
且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．當(dāng)x₀=1時(shí)，則M與B重合，結(jié)論成立．x1=

5x0-8

2x0-5

當(dāng)x₀≠1時(shí)，直線(xiàn)AF：y=

y0

x0-1

(x-1)，直線(xiàn)BN：y=

-y0

x0-4

(x-4)．
解方程組

y= y0 x0-1 (x-1) y= -y0 x0-4 (x-4)

得

x1= 5x0-8 2x0-5 y1= 3y0 2x0-5

∴

x12

4

+

y12

3

=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

1

3

(

3y0

2x0-5

)2=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

3×3(1- x02 4 )

(2x0-5)2

=1
則點(diǎn)M在橢圓C

x2

4

+

y2

3

=1上，
綜上知，點(diǎn)M恒在C上．
ⅱ．解：聯(lián)立

x+ky-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，消元得：（3k²+4）y²-6ky-9=0
由ⅰ，y0+y1=

6k

3k2+4

，y0y1=

-9

3k2+4

S△AMN=

1

2

|FN|•|y0-y1|=

3

2

(y0+y1)2-4y0y1

=

3

2

( 6k 3k2+4 )2+ 36 3k2+4

=18

k2+1 9k4+24k2+16

=

18

9k4+24k2+16 k2+1

=

18

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

令m=k²+1（m≥1），f(m)=9m+

1

m

  (m≥1)．則f（m）在[1，+∞）為增函數(shù)．
∴f（m）≥f（1）=10．
∴S△AMN≤

9

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=k²+1=1．
即k=0時(shí)S_△AMN取最大值

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查恒成立問(wèn)題以及三角形的面積的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力．