Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小周期；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），且當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．求函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．在討論x∈[$-\frac{π}{2}$，0]時，g（x）的解析式，在函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$+sin²x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x$+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x
∴函數(shù)f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．即g（x）=$\frac{1}{2}-$（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$sin2x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，由于g（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），
則（x+$\frac{π}{2}$）∈[0，$\frac{π}{2}$]
那么：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{2}$）=$-\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-π，-$\frac{π}{2}$]時，則（x+π）∈[0，$\frac{π}{2}$]
可得：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x，（-\frac{π}{2}＜x≤0）}\\{\frac{1}{2}sin2x，（-π≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，以及分段函數(shù)的解析式的求法．利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．