Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈R，x≠0
（1）若a＞0且a≠1，f（log_ax）=x-

1

x

，求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性．
（2）若f（x）=x+

1

x

，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法即可求f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可并判斷f（x）的奇偶性．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）令t=log_ax，則x=a^t，t∈R，
則函數(shù)等價(jià)為f（t）=a^t-a^-t，
即f（x）=a^x-a^-x，
則f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

-x₁=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-1

x1x2

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
則f（x₂）＞f（x₁）．
故函數(shù)在（1，+∞）單調(diào)增；
設(shè)設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

-x₁=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-1

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
則f（x₂）＜f（x₁）．
故函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減；

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷和證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．