【題目】已知多面體,,均垂直于平面,,

(1)證明:⊥平面

(2)求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)直線與平面所成的角的正弦值為.

【解析】

1)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,要證平面,只需證與平面兩條相交直線垂直。根據(jù)已知條件可求的長度,然后跟據(jù)勾股定理可證.。同理可得.,進(jìn)而可得平面。(2)要求直線與平面所成的角的正弦值,應(yīng)先作角。由條件可得平面平面 。所以過點,交直線于點,連結(jié). 可知與平面所成的角.根據(jù)條件可求的三邊長,進(jìn)而可由余弦定理求得 ,然后可求。進(jìn)而求得,在中即可求得結(jié)果。

(1)由,

所以.

.

,

,

,得,所以,故.

因此平面.

(2)如圖,過點,交直線于點,連結(jié).

平面得平面平面

平面,

所以與平面所成的角.

,

所以,故.

因此,直線與平面所成的角的正弦值是.

方法二:

(1)如圖,以AC的中點O為原點,分別以射線OBOCx,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點坐標(biāo)如下:

因此

.

.

所以平面.

(2)設(shè)直線與平面所成的角為.

由()可知

設(shè)平面的法向量.

可取.

所以.

因此,直線與平面所成的角的正弦值是.

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