Question

設(shè)a∈R，討論關(guān)于x的方程x³+3x²-a=0的相異實(shí)根的個(gè)數(shù)？

Answer 1

解∵設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3x²-a，求導(dǎo)函數(shù)得f'（x）=3x²+6x
∴f'（x）=0的兩根分別為x₁=-2，x₂=0
∵x＜-2或x＞0時(shí)，f'（x）＞0；-2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-2，0）；增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）
因此，函數(shù)f（x）的極大值是f（-2）=4-a，極小值是f（0）=-a
作出函數(shù)的草圖，如右圖所示，可得
（1）當(dāng)4-a＜0或-a＞0時(shí)，即a＜0或a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
可得原方程只有一個(gè)根．
（2）當(dāng)4-a=0或-a=0時(shí)，即a=0或a=4時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)相異實(shí)根．
（3）當(dāng)0＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，原方程有三個(gè)相異實(shí)根．
分析：設(shè)方程左邊對(duì)應(yīng)三次多項(xiàng)式函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的極大值是f（-2）=4-a，極小值是f（0）=a．由此結(jié)合函數(shù)的圖象觀察，進(jìn)行分類討論即可得到各種情況下原方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的三次方程，討論方程根的個(gè)數(shù)．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)屬于和三次多項(xiàng)式的極值求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．