Question

設同時滿足以下兩個條件的有窮數列a₁，a₂，a₃，…，a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）若等比數列{a_n}為2k（k∈N^*）階“期待數列”，求公比q；
（Ⅱ）記n階“期待數列”{a_i}的前k項和為S_k（k=1，2，3，…，n）．
（1）求證：|S_k|≤

1

2

；
（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}，使得S_m=

1

2

．試問：數列{S_i}（i=1，2，3，…，n）能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）分類討論，利用“期待數列”的定義，即可求出公比；
（Ⅱ）（1）由n階“期待數列”{a_n}的前k項和中所有項之和為0，所有項的絕對值的和為1，求得所有非負數項的和

1

2

，所有負數項的和為-

1

2

，從而得到答案；
（2）借助于（1）的結論知，數列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項和為T_k 滿足|T_k |≤

1

2

，再由S_m=

1

2

，得到|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．從而說明S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時成立．

解答： （Ⅰ）解：若q=1，由①得，a₁•2k=0，得a₁=0，矛盾．-----------（5分）
若q≠1，則由①a₁+a₂+a₃+…+a_2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，-------------（7分）
由②得a₁=

1

2k

或a₁=-

1

2k

．
∴q=-1；
（Ⅱ）（1）證明：記a₁，a₂，…，a_n中所有非負數項的和為A，所有負數項的和為B，
則A+B=0，A-B=1，得A=

1

2

，B=-

1

2

，
∴-

1

2

=B≤S_k≤A=

1

2

，即：|S_k|≤

1

2

（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，由前面的證明過程知：
a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，
且a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，
如果{S_k}是n階“期待數列”，
記數列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項和為T_k ，
則由（i）知，|T_k |≤

1

2

，
∴T_m=S₁+S₂+…+S_m≤

1

2

，而S_m=

1

2

，
∴S₁=S₂=…=S_m-1=0，從而a₁=a₂=…=a_m-1=0，a_m=

1

2

．
又a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，則S_m+1，S_m+2，…，S_n≥0．
∴|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．
S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時成立．
∴對于有窮數列a₁，a₂，…，a_n（n=2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，
則數列{a_i}的和數列{S_k}（k=1，2，3，…，n）不能為n階“期待數列”．

點評：本題是新定義題，考查了數列與不等式的結合，解答此題的關鍵是明確題意，充分借助于題設中給出的兩個條件，明確數列中的非負數項和負數項，是難度較大的題型．