Question

19．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AC，BC，BD，DA的中點，若$AB=12\sqrt{2}$，$CD=4\sqrt{2}$，且四邊形EFGH的面積為$12\sqrt{3}$，則AB和CD所成的角為60°．

Answer 1

分析 推導出四邊形EFGH是平行四邊形，設(shè)AB與CD所成角為θ，則sin∠HEF=sinθ，從而S_{平行四邊形EFGH}=HE•EF•sinθ=12$\sqrt{3}$，由此能求出AB和CD所成的角．

解答 解：∵在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AC，BC，BD，DA的中點，
$AB=12\sqrt{2}$，$CD=4\sqrt{2}$，
∴HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴HG$\underset{∥}{=}$EF，且HG=EF=6$\sqrt{2}$，
HE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，GF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴HE$\underset{∥}{=}$GF，且HE=GF=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
設(shè)AB與CD所成角為θ，則sin∠HEF=sinθ，
∵四邊形EFGH的面積為$12\sqrt{3}$，
∴S_{平行四邊形EFGH}=HE•EF•sinθ=2$\sqrt{2}$×$6\sqrt{2}×sinθ$=12$\sqrt{3}$，
解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°≤θ≤90°，∴θ=60°．
∴AB和CD所成的角為60°．
故答案為：60°．

點評 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．