Question

討論函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），當a＞1時，當0＜a＜1時分類討論判斷符號即可，得出單調(diào)性的結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
∵設x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），
∵a x1+x2＞0，∴1+

1

ax1+x2

＞0，
∵，a x1＞ax2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴當a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調(diào)遞增，
∵當0＜a＜1時，a x1＜a x2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的單調(diào)遞減．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，分類討論，判斷因式的符號問題，關(guān)鍵是分解因式，屬于中檔題．