Question

在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點（0，-），（0，）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，已知直線y=kx+l與C交于A、B兩點．
（I）寫出C的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓過原點0，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|OA|＞|OB|．

Answer 1

（I）解：設P（x，y），
∵動點P到兩點（0，-），（0，）的距離之和等于4
∴由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-），（0，）為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b==1，故曲線C的方程為x2+=1．
（Ⅱ）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得（4+k²）x²+2kx-3=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=-
∴y₁y₂=（kx₁+l）（kx₂+l）=
∴-+=0
∴，∴k=；
（Ⅲ）證明：=（）-（）=+=
∵點A在第一象限，∴x₁＞0
∵x₁x₂=-，∴x₂＜0
∴x₁-x₂＞0
∵k＞0，∴，
∴恒有|OA|＞|OB|．
分析：（I）動點P到兩點（0，-），（0，）的距離之和等于4，由橢圓的定義知此動點的軌跡應為橢圓，從而可得動點的軌跡方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，從而x₁x₂+y₁y₂=0，將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得一元二次方程，利用韋達定理，即可求k的值；
（Ⅲ）用坐標表示出，利用點A在第一象限，k＞0，即可證得結論．
點評：本題考查了利用定義法求動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查不等式的證明，關鍵要理解好橢圓定義的條件，正確運用韋達定理進行解題．