Question

已知函數(shù)，.
（1）若存在，使得，求a的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，證明：.

Answer 1

（1）(1，＋∞)；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先將已知不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求的參數(shù)分離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最值，代入到所轉(zhuǎn)化的式子中即可；第二問，將方程的2個(gè)根分別代入到方程中，得到2個(gè)式子，2個(gè)式子作差，得到方程將a分離出來，對(duì)求導(dǎo)，將代入，將上述的a也代入，得到所求式子的左邊，只需證明即可，通過變形，只需證明即可，構(gòu)造新函數(shù)，所以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，判斷，即.
試題解析：（1）當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＜0等價(jià)于．
令，則，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g¢(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．           4分
故a的取值范圍是(1，＋∞)．          5分
（2）因f(x)＝x，即x²－lnx＝(a＋1)x有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解u，v．
故u²－lnu＝(a＋1)u，v²－lnv＝(a＋1)v．
于是(u＋v)(u－v)－(lnu－lnv)＝(a＋1)(u－v)．      7分
由u－v＜0解得．
又，所以
．  9分
設(shè)，則當(dāng)u∈(0，v)時(shí)，，
h(u)在(0，v)單調(diào)遞增，h(u)＜h(v)＝0，
從而，因此．       12分