Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表討論，能求出f（x）在[-2，2]上的極大值和極小值．
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），根據(jù)a的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，能得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
當(dāng)x在區(qū)間（-2，2）上變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）
f'（x）	正	0	負(fù)	0	正
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在[-2，2]上有極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2．…（6分）
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0在R上恒成立，
故f（x）在R上為增函數(shù)  …（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）≥0得：x≤-

a

或x≥

a

；
由f'（x）≤0得：-

a

≤x≤

a

，
故f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上為增函數(shù)，
在[

a

，-

a

]上為減函數(shù)．…（11分）
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上為增函數(shù)，在[

a

，-

a

]上為減函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．