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已知f（x）=x2-x+k，k∈Z，若方程f（x）=2在（-1，
3
2
）上有兩個不相等的實數根．
（Ⅰ）確定k的值；
（Ⅱ）求
[f(x)]2+4
f(x)
的最小值及對應的x值．
分析：（Ⅰ）設g（x）=f（x）-2，由題設可得
g(-1)=k＞0
g(
3
2
)=k-
5
4
＞0
△=9-4k＞0
-
-1
2
∈(-1 ，
3
2
)
，求得k的范圍，再結合k∈z，可得k的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-x+2，再利用基本不等式求得它的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設g（x）=f（x）-2=x2-x+k-2，由題設可得
g(-1)=k＞0
g(
3
2
)=k-
5
4
＞0
△=9-4k＞0
-
-1
2
∈(-1 ，
3
2
)
，-----（4分）
化簡可得
5
4
＜k＜
9
4
．
再由 k∈z，可得 k=2．------（6分）
（Ⅱ）∵k=2，∴f（x）=x2-x+2．------（8分）
∴
[f(x)]2+4
f(x)
=f（x）+
4
f(x)
≥4，當且僅當f（x）=
4
f(x)
時取等號．------（10分）
∵f（x）＞0，
∴f（x）=2時取等號．
即x2-x+2=2，解得x=0或x=1．
故當x=0或x=1時，
[f(x)]2+4
f(x)
 取最小值4．---------（12分）
點評：本土主要復合函數的單調性，二次函數的性質、基本不等式的應用，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R的定義域為[-1，1]．
（1）記|f(x)|的最大值為M，求證：M≥
1
2
.（2）求出（1）中的M=
1
2
時，f(x)的表達式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+x+1，則f(
2
)=
 
；f[f(
2
)]=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+2x，數列{an}滿足a1=3，an+1=f′（an）-n-1，數列{bn}滿足b1=2，bn+1=f（bn）．
（1）求證：數列{an-n}為等比數列；
（2）令cn=
1
an-n-1
，求證：c2+c3+…+cn＜
2
3
；
（3）求證：
1
3
≤
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
＜
1
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2-x+k，若log2f（2）=2，
（1）確定k的值；
（2）求f(x)+
9f(x)
的最小值及對應的x值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），
（Ⅰ）若f（x）能表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）2]上都是減函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，比較f(1)和
16
的大�。�

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