精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長40米，池塘的最遠端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.

（1）求小路的總長，用表示；

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，的值.

【答案】（1）（2）當時，所需鋪草坪面積最小

【解析】

（1）建立合適的平面直角坐標系，求出小池塘的邊界拋物線方程，然后設出直線的方程，和拋物線聯立，可求出切點坐標， 同時可求出的坐標，表示出，變形即可得結果；

（2）要所需鋪草坪面積最小，需要梯形面積最小，利用（1）的結果表示出梯形面積，利用基本不等式求出最值．

解：（1）以為原點，所在直線為軸，過點作垂直于軸的直線為軸，建立直角坐標系，所以，

因為小池塘的邊界為拋物線型，設邊界所在的拋物線方程為，

因為是曲線上一點，

所以，即拋物線方程為.

設所在的直線方程：，

聯立，即，

因為與拋物線相切，

所以①.

記直線與拋物線切于點，

所以點的橫坐標為，即.

易得點，點，由對稱性可知，點.

所以小路總長為，

由①及可知

；

（2）記草坪面積為，梯形面積為，小池塘面積為，

所以，因為小池塘面積為定值，要使得草坪面積最小，則梯形面積最小

，

由①知，當且僅當“”取得“＝”

所以當時，梯形面積最小，即草坪面積最小．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 的一段圖像如圖所示.

（1）求此函數的解析式；

（2）求此函數在上的單調遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題不正確的是（　�。�

A.研究兩個變量相關關系時，相關系數r為負數，說明兩個變量線性負相關

B.研究兩個變量相關關系時，相關指數R2越大，說明回歸方程擬合效果越好．

C.命題“x∈R，cosx≤1”的否定命題為“x0∈R，cosx0＞1”

D.實數a，b，a＞b成立的一個充分不必要條件是a3＞b3

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）設：實數x滿足|x﹣m|＜2，設：實數x滿足＞1；若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍

（2）已知p：函數f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定義城為R，已知q：已知且，指數函數g（x）＝（a﹣1）x在實數域內為減函數；若￢p∨q為假命題，求實數a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中, 經過原點的直線將分成左、右兩部分,記左、右兩部分的面積分別為 ,則取得最小值時,直線的斜率（ ）

A.等于1B.等于C.等于D.不存在

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓：關于直線對稱且過點和，直線過定點.

（1）證明：直線與圓相交；

（2）記直線與圓的兩個交點為，.

①若弦長，求直線方程；

②求面積的最大值及面積的最大時的直線方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點P和非零實數，若兩條不同的直線 均過點P，且斜率之積為，則稱直線是一組“共軛線對”，如直 是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.

（1）已知是一組“共軛線對”，求的夾角的最小值；

（2）已知點A(0,1)、點和點C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點（A,B,C與P,Q,R均不重合），且直線PR,PQ是“ 共軛線對”，直線QP,QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；

（3）已知點 ，直線是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點O到直線的距離之積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中，為的中點，為外心，點滿足.

（1）證明：；

（2）若，設與相交于點，關于點對稱，且，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案