Question

已知函數(shù)f（x）=a（x²-1）-lnx
（1）若y=f（x）在x=2處取得極小值，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

3n2-n-2

2n2+2n

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)判，根據(jù)f′（x）=0，求的a的值，需要驗(yàn)證．
（2）需要分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值；
（3）由（Ⅱ）

1

lnx

＞

2

x2-1

，利用列項(xiàng)求和證明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2ax-

1

x

，
∵y=f（x）在x=2處取得極小值，
∴f′（2）=0，即a=

1

8

，
此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證x=2是f（x）的極小值點(diǎn)，故a=

1

8

，
（2）∵f′（x）=2ax-

1

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

2ax2-1

x

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

2a

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2a

（�。┊�(dāng)

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時(shí)，
∴x∈（1，

1

2a

）時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）遞減，
∴f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ⅱ）當(dāng)

1

2a

≤1，即a＞

1

2

時(shí)，
∴x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）遞增，
∴f（x）≥f（1）=0滿足題意．
綜上，a≥

1

2

．
（3）證明：由（Ⅱ）知令a=

1

2

，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

2

（x²-1）-lnx≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

1

lnx

＞

2

x2-1

，
即當(dāng)x=2，3，4，…，n
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞2（

1

22-1

+

1

32-1

+…+

1

n2-1

）=2（

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-1)(n+1)

=[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

）]=

3n2-n-2

2n2+2n

．

點(diǎn)評：本題綜合性很強(qiáng)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查恒成立的問題，以及不等式的證明及裂項(xiàng)求和的方法，屬于難題