Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若a＞0且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

解：（I）
（1）當(dāng)的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）當(dāng)a＜0時，g'（x）＞0恒成立，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）
（II）設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點(diǎn)（x₀，y₀）
又
由題意：
由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得b=

考慮到
所以，上單調(diào)遞減，
故
取得最大值．…（8分）
分析：（I）求出，由參數(shù)a的符號不確定故需要分它的符號為正與為負(fù)兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，故在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，函數(shù)值相等，由此兩等量關(guān)系建立方程尋求問題的求解．
點(diǎn)評：題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號，本題屬于第一類，本題中第二小題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由于此題是一個存在性問題，首先由題設(shè)條件尋求兩個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再由導(dǎo)數(shù)研究b最大值，解題方向多次轉(zhuǎn)換，思維量較大，運(yùn)算較繁瑣，題目難度較大．