Question

設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，結合和角公式化簡可求cosB，進一步可求B，
（II）由（I）可得，由△ABC為銳角三角形，可得從而可得 A的范圍，而sinA+sinC=sinA+sin（-A），利用差角公式及輔助角公式化簡可得，從而可求．
解答：解：（I）由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴，又0＜B＜π，
∴．
（Ⅱ）由A+B+C=π及，得．
又△ABC為銳角三角形，
∴
∴．
．
又，
∴．
∴．
點評：（I）考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，及特殊角的三角函數值
（II）本題的關鍵是由△ABC為銳角三角形，建立關于A的不等式，進而求出A的范圍，而輔助角公式的應用可以把不同名的三角函數化為一個角的三角函數，結合三角函數的性質進行求解．