Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，記點(diǎn)P的軌跡為曲線W，則下列命題中：
①曲線W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；            
②曲線W關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
③曲線W關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；            
④曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)
所有真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)距離相等列出方程化簡(jiǎn)求出y關(guān)于x的函數(shù)，作出圖象即可得出結(jié)論．

解答 解：曲線W的軌跡方程為|x|+|y|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
兩邊平方得：2|xy|=-2x-2y+2，
即|xy|+x+y=1，
①若xy＞0，則xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，
∴y=$\frac{2}{x+1}-1$，函數(shù)為以（-1，-1）為中心的雙曲線的一支，
②若xy＜0，則xy-x-y+1=0，即（x-1）（y-1）=0，
∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．
作出圖象如圖所示：
∴曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．