Question

18．數(shù)列{a_n}的各項全為正數(shù)，且在如圖所示的算法框圖圖中，已知輸入k=2時，輸出$S=\frac{1}{3}$；輸入k=5時，輸出$S=\frac{4}{9}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${b_n}={2^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）模擬程序框圖的運行過程，得出該程序運行后輸出的S是什么，然后由已知，利用S的表達式，列出方程組求出a₁和d，即可求出a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求b_n，利用等比數(shù)列的求和公式即可得解．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由框圖知：
當k=2時，$S=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{1}{3}$⇒a₁a₂=3①；
當k=5時，$S=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}=\frac{4}{9}$，
即$\frac{1}77lv7nx（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_4}-\frac{1}{a_5}）=\frac{1}75bj9vh（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_5}）$=$\frac{1}jjp9ntf•\frac{{{a_5}-{a_1}}}{{{a_1}{a_5}}}$=$\frac{1}vhp9bnt•\frac{4d}{{{a_1}{a_5}}}=\frac{4}{{{a_1}{a_5}}}=\frac{4}{9}$，
所以a₁a₅=9②
由①②得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}（{{a_1}+d}）=3}\\{{a_1}（{{a_1}+4d}）=9}\end{array}}\right.$，（4分）
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
可得：${a_n}=2n-1，n∈{N^*}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n-1}}=\frac{1}{2}•{4^n}$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}•（{4^1}+{4^2}+…+{4^n}）=\frac{1}{2}\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{2}{3}（{4^n}-1）$．（12分）

點評 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問題，考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是綜合題．