Question

12．已知點P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點（包括邊界），則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1]$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．設(shè)P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
A₁（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），
設(shè)P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y，1），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，1-y，1），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．
當x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$時，f（x，y）取得最小值$\frac{1}{2}$．
當點P�。�0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．
∴f（x，y）∈$[\frac{1}{2}，1]$．
故答案為：$[\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、空間向量坐標運算性質(zhì)、數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．