Question

有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：
P₁：?x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：?x∈R，sin2x=sinx；
P3：?x∈[-

π

2

，

π

2

]，

1+cos2x 2

=cosx；    P₄：?x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命題是（　�。�

A．P₁，P₄

B．P₂，P₃

C．P₃，P₄

D．P₂，P₄

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的值域，可得命題P₁是假命題；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可得命題P₂是真命題而命題P₄是假命題；根據(jù)二倍角的余弦公式化簡，并結(jié)合余弦的符號，得到命題P₃是真命題．由此得到本題的答案．

解答：解：因?yàn)閟inx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），所以sinx+cosx的最大值為

2

，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命題P₁是假命題；
因?yàn)榇嬖趚=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命題P₂是真命題；
因?yàn)?span id="1riaoqt" class="MathJye">

1+cos2x

2

=cos²x，所以

1+cos2x 2

=|cosx|，結(jié)合x∈[-

π

2

，

π

2

]得cosx≥0
由此可得

1+cos2x 2

=cosx，得命題P₃是真命題；
因?yàn)楫?dāng)x=

π

4

時，sinx=cosx=

2

2

，不滿足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命題P₄是假命題．
故選：B

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的化簡與求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．