Question

在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩成角，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題實際是平行六面體內的一角，關鍵是求高． 　　解答　　如圖，設頂點A在平面PBC的射影為H，連結PH．由已知，PA、PB、PC兩兩成角， 　　∴PH是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過H作HE⊥PB， 　　連結AE，∴AE⊥PE．在Rt△PAH中，PH＝PA·cos∠APH， 　　在Rt△PHE中，PE＝PHcos∠HPE，∠PA·cos∠HPE， 　　∴cos∠APE＝cos∠APH·cos∠HPE． 　　∵∠APE＝，∠HPE＝，∴cos∠APH＝， 　　sin∠APH＝． 　　∵PA＝a，∴AH＝a，S△PBC＝bcsin＝bc． 　　∴VP－ABC＝S△PBC·AH＝×bc×a＝abc． 　　評析　　(1)把A、B、C中的任一個點作為頂點(其余三點構成的三角形作為底面)是解題的關鍵，這說明改變幾何體的放置方式或改變對幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的．(2)當a＝b＝c時，得到正四面體的體積是a3．(3)若在PA、PB、PC上各任取一點M、N、R，設PM＝m，PN＝n，PR＝r，則容易證明＝，這一結論與PA、PB、PC成多大的角無關．