Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+4lnx在x=1與x=

1

3

都取得極值．
（1）求a、b；
（2）若對x∈[

1

e

，e]時，f（x）≥c取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f（x）在x=1與x=

1

3

處取得極值得f^′′（1）=0，f^′′（

1

3

）=0，從而得到方程組，解出a，b再加以檢驗(yàn)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合圖象通過作差比較出f（x）在[

1

e

，e]上的最小值，則f（x）≥c恒成立等價于f（x）_min≥c；

解答：解：（1）f′（x）=2a+

b

x2

+

4

x

，
∵f（x）=2ax-

b

x

+4lnx在x=1與x=

1

3

處都取得極值，
∴f′（1）=0，f′（

1

3

）=0，
∴

2a+b+4=0 2a+9b+12=0

，解得a=-

3

2

，b=-1，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（2）由（1）可知f（x）=-3x+

1

x

+4lnx，
f^′′（x）=-3-

1

x2

+

4

x

=-

(3x-1)(x-1)

x2

，
由f′（x）≥0，得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1

3

，1]，
由f′（x）≤0，得f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

3

]和[1，+∞），
當(dāng)x∈[

1

e

，e]時，f（

1

e

）=e-4-

3

e

，f（e）=

1

e

+4-3e，
而f（

1

e

）-f（e）=4e-8-

4

e

＞0，
所以f（

1

e

）＞f（e），即f（x）在[

1

e

，e]上的最小值為

1

e

+4-3e，
要使對x∈[

1

e

，e]時，f（x）≥c恒成立，必須c≤f(x)min=

1

e

+4-3e．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查恒成立問題的處理，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法．